Из истории математики

 Великие математики

Математику часто называют языком Вселенной, она важна для нашего понимания мира и нашего общества. 
1. Евклид

Математические знания накапливались в Греции и греческих колониях в течение нескольких столетий. Постепенно стало ясно: нельзя логическим путем вывести нечто из ничего. Нужно зафиксировать первоначальные понятия и некоторые факты, из которых можно вывести всё остальное. В геометрии они назывались постулатами, а в арифметике - аксиомами.
Но какие факты считать первоначальными? Ведь многие утверждения следуют друг из друга. Рано или поздно должен был появиться мыслитель, способный навести в математическом хозяйстве хотя бы видимость порядка.
И такой мыслитель появился в третьем веке до н.э. в Александрии. Это был Евклид.
Точных сведений о его биографии не сохранилось. Возможно, это связано с царской немилостью - согласно легенде, ученый был дерзок с владыкой Александрии и всего Египта, царём Птолемеем. Когда монарх начал изучать геометрию, у него возникли трудности. Не привыкший встречать затруднения, царь вызвал Евклида и спросил, нет ли какого-то особого, доступного лишь правителям способа усвоить эту науку. Евклид отметил: "Царской дороги в математике нет".
Сам Евклид доказал не так уж много новых теорем - хотя, разумеется, были и они. Но не в этом его главная заслуга. Мы благодарны Евклиду прежде всего за то, что он переработал и по-новому осмыслил уже известные результаты, показав другим пример того, как это можно и нужно делать.
Впрочем, математики, сравнимые по значению с Евклидом, появились нескоро - спустя два тысячелетия! В течение многих веков математикам казалось, что 13-томный труд Евклида нельзя улучшить - можно только дополнить новыми открытиями.
Труд этот называется "Начала". В нем была изложена вся известная к тому времени геометрия (за исключением теории конических сечений), а также связанная с геометрией теория чисел. К исходным утверждениям Евклид отнес пять постулатов, обосновывающих выполнимость тех или иных геометрических построений (например: "Через две точки можно провести прямую") и восемь аксиом, описывающих основные свойства равенств и неравенств (например: "Целое больше части").
Аксиоматический метод со временем вошел во многие науки, причем не только естественные. Великий голландский философ Спиноза, например, аксиоматизировал этику.
Дальнейшая судьба "Начал", несмотря на всю их образцовость, сложилась непросто. Средневековые фанатики - и христиане, и мусульмане - безжалостно уничтожали древние рукописи, действуя по принципу: "Если они противоречат нашим священным книгам, то они вредны; а если нет, то они ни к чему". И всё-таки, в латинских и арабских переводах, "Начала" выжили, и их по достоинству оценили математики нового времени. Величайший ученый XVII века Исаак Ньютон, следуя Евклиду, назвал свою главную книгу "Начала натуральной философии". Да и в XX веке ваши дедушки и бабушки еще знакомились с геометрией по учебнику, изложение материала в котором следовало евклидовым началам.
Как жил Евклид, чем интересовался, кроме геометрии? Неизвестно; зато все знают, как он ответил ученику, спросившему: "Какая польза будет мне от изучения математики?" Разгневанный Евклид позвал слугу и сказал: "Дай ему грош, он ищет выгоды, а не знаний!"

2. Пифагор

Пифагор родился в шестом веке до н.э. на греческом острове Самос. По сохранившимся преданиям, он много путешествовал: жил в Египте, Вавилоне, побывал даже в далекой Индии. Потом он поселился на юге нынешней Италии, где основал общество философов - пифагорейский союз.

Пифагорейцы много занимались наукой, особенно математикой. Самой знаменитой из опубликованных ими теорем стала теорема Пифагора, гласящая, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе. Получающуюся при этом картинку школьники с давних пор называли "пифагоровыми штанами".

Пифагорейцы изучили варианты, в которых величины всех сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами. Вообще,они придавали числам очень большое значение, считая, что через них можно выразить все закономерности в мире. И сами числа они наделяли разнообразными свойствами. Например, они считали, что 5 символизирует цвет, 6 - холод, 7 - разум, здоровье и свет, 8 - любовь и дружбу и т.д.

Числа, равные сумме всех своих делителей, такие как 6, 28, 496, 8128, они считали совершенными. А пары чисел, в которых каждое число равнялось сумме делителей другого, они называли дружественными. Пифагорейцы разделили числа на четные и нечетные и заметили, что если складывать последовательно нечетные числа: 1 + 3 + 5 + 7..., то после каждого сложения будут получаться полные числовые квадраты: 1, 4, 9, 16...

К математическим наукам пифагорейцы относили арифметику, геометрию, астрономию... и музыку! Они установили, что высота звучания струны зависит от ее длины, то есть опять же от числа! И создали первую математическую теорию музыки.

В качестве символа пифагорейцы избрали пятиконечную звезду, хотя сам Пифагор говорил, что из всех фигур прекраснейшее - круг, а из тел - шар. В то же время среди геометрических теорем пифагорейцев нет теоремы о круге. Они занимались в основном многоугольниками. Например, они умели строить многоугольник, подобный одному из двух заданных многоугольников и одновременно равновеликий второму.

3. Рене Декарт

Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода де Карт - отсюда впоследствии возникло его латинизированное имя Картезиус и направление в философии - картезианство; и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ, ныне Декарт (Descartes), департамент Эндр и Луара,Франция. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй в городе Ренн и в Лаэ появлялся редко; воспитанием мальчика занималась бабушка по матери. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

Начальное образование Декарт получил в иезуитском колле́же Ла Флеш, где его учителем был Жан Франсуа. В коллеже Декарт познакомился с Мареном Мерсенном (тогда — учеником, позже — священником), будущим координатором научной жизни Франции. Религиозное образование только укрепило в молодом Декарте скептическое отношение к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционной Голландии (в те годы — союзнице Франции), затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). В Голландии в 1618 г. Декарт познакомился с выдающимся физиком и натурфилософом Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его формирование как учёного. Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе, где, помимо прочего, открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ля-Рошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где проводит 20 лет в уединённых научных занятиях.

Он ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы (через верного Мерсенна), изучает самые различные науки — от медицины до метеорологии. Наконец, в1634 году он заканчивает свою первую, программную книгу под названием «Мир» (Le Monde), состоящую из двух частей: «Трактат о свете» и «Трактат о человеке». Но момент для издания был неудачным — годом ранее инквизиция чуть не замучила Галилея. Поэтому Декарт решил при жизни не печатать этот труд. Он писал Мерсенну об осуждении Галилея:

Это меня так поразило, что я решил сжечь все мои бумаги, по крайней мере никому их не показывать; ибо я не в состоянии был вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся расположением даже Папы, мог быть осуждён за то, без сомнения, что хотел доказать движение Земли… Признаюсь, если движение Земли есть ложь, то ложь и все основания моей философии, так как они явно ведут к этому же заключению.

Вскоре, однако, одна за другой, появляются другие книги Декарта:

• «Рассуждение о методе…» (1637)
• «Размышления о первой философии…» (1641)
• «Первоначала философии» (1644)

В «Первоначалах философии» сформулированы главные тезисы Декарта:

• Бог сотворил мир и законы природы, а далее Вселенная действует как самостоятельный механизм.
• В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления.
• Математика — мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук.

Кардинал Ришельё благожелательно отнёсся к трудам Декарта и разрешил их издание во Франции, а вот протестантские богословы Голландии наложили на них проклятие (1642); без поддержки принца Оранского учёному пришлось бы нелегко.

В 1649 году Декарт, измученный многолетней травлей за вольнодумство, поддался уговорам шведской королевы Кристины (с которой много лет активно переписывался) и переехал в Стокгольм. Почти сразу после переезда он серьёзно простудился и вскоре умер. Предположительной причиной смерти явилась пневмония.

В 1637 году вышел в свет главный философско-математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).

В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре,геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль).

Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его.

4. Софья Васильевна Ковалевская
    (1850 - 1891)

Жизненный путь С.В.Ковалевской был гораздо труднее, чем у ее коллег-мужчин. И не потому, что она была менее талантлива - все учителя отмечали удивительную легкость, с которой Соня усваивала сложные научные понятия и решала трудоемкие задачи. Но по законам царской России XIX века наука считалась делом исключительно мужским.

Когда Соне исполнилось 8 лет, ее отец, начальник московского арсенала генерал В.В.Корвин-Круковский, был уволен в отставку, и семья переехала в загородное имение в селе Полибино Псковской области.

Как ни удивительно, этот перевод самым серьезным образом повлиял на дальнейшую судьбу Сони.

К приезду барина все комнаты в доме были оклеены новыми обоями. Но на детскую обоев не хватило, и одна стена осталась оклеенной страницами книги петербургского математика М.В.Остроградского. Девочка проводила целые часы перед таинственной покрытой формулами стеной, пытаясь найти порядок, в котором страницы следовали друг за другом. Впоследствии 15-летняя Соня за одну зиму изучила весь курс дифференциального и интегрального исчисления - ведь формулы были ей уже знакомы.
Генерал любил свою младшую дочь, но к ее увлечению математикой относился неодобрительно. Софья использовала популярный в то время способ вырваться из-под родительской опеки - оформила фиктивный брак с ученым-биологом В.О.Ковалевским. В 1868 году супруги Ковалевские выехали в Германию, где Софья Васильевна могла продолжить образование - обучение в российских университетах было для нее недоступно.
Вначале С.В.Ковалевская училась в Гейдельберге - в одном из немногих университетов Германии, куда принимали женщин. Она предпочла бы учиться в Берлинсокм, где читал лекции крупнейший немецкий математик - Карл Вейерштрасс, - но порядки в Берлине были столь же реакционны, как и в России. Ковалевская решилась на крайний шаг- обратилась непосредственно к Вейерштрассу с просьбой о частных уроках.
При первой встрече Вейерштрасс дал ей несколько трудных задач и предложил подумать над ним на досуге. Не исключено, что он рассчитывал таким образом отбить у молодой женщины странную охоту к математике. Но к его изумлению, ровно через неделю все задачи были безукоризненно решены!
За четыре года обучения у Вейерштрасса Ковалевская решила три принципиальных проблемы математического анализа. В 1874 году Гёттингенский университет без защиты диссертации присудил ей степень доктора философии с высшей похвалой.
После этого Софья Васильевна возвращается в Петербург и почти на шесть лет оставляет занятия математикой. Теперь ее интересуют журналистика, общественная деятельность, семейные дела. Брак с В.О.Ковалевским из фиктивного становится фактическим, в 1878 году рождается дочь, Соня - младшая.

В гостеприимном доме Ковалевских бывают многие известные ученые и писатели - Менделеев, Боткин, Чебышев, Тургенев, Достоевский...
В 1883 году, после трагической смерти мужа, С.В.Ковалевская уезжает в Швецию, приняв предложение занять место профессора в Стокгольмском университете. В 1889 году по инициативе Чебышева ее избирают членом-корреспондентом Санкт-Петербургской Академии наук. Но и после этого ей не разрешают преподавать на родине.
В 1891 году Ковалевская умерла от простуды в Стокгольме.


Использованные информационные ресурсы:
1. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова. - М.: ООО "Издательство АСТ-ЛТД", 1998.
2. https://ru.wikipedia.org/wiki